Какой возможен исход событий?

1.3. Вероятность и методы ее определения

Какой возможен исход событий?

Вероятность понимается как численная мера неопределенности относительно появления некоторого случайного события.

При этом термин «вероятность» применим лишь к таким случайным событиям, в отношении которых возможна объективная оценка доли случаев их появления [23].

Существуют три определения вероятности: классическое, геометрическое и статистическое. Каждое из них в действительности является не определением, а скорее методом вычисления вероятности.

Классическое определение вероятности осуществимо только при вполне определенных и сильно ограниченных условиях [23].

Указанные ограничения сводятся к предположению равновозможности (равновероятности) и несовместимости анализируемых событий.

При этом под равновозможностью понимается объективное свойство изучаемых явлений, основанное на их реальной симметрии. Несовместимыми называются события, одновременное осуществление которых при данном комплексе условий невозможно.

Типичным примером классического определения вероятности при требуемых предположениях несовместимости и равновозможности является вычисление вероятностей выпадения какой-либо грани при подбрасывании симметричной кости. Данная вероятность очевидно равна отношению 1/n, где n – число граней кости.

Указанное определение вероятности соответствует интуитивным представлениям о том, что исходом подбрасывания может явиться выпадение только какой-либо одной грани, причем вероятности выпадения каждой грани равны (вследствие предположения о симметричности кости), а сумма вероятностей выпадения всех граней равна 1.

Поэтому превалирование частоты выпадения какой-то грани над таковой других граней при многочисленных подбрасываниях позволяет сделать вывод о нарушении свойства симметрии.

В теории вероятностей события, аналогичные таковым в примере с подбрасыванием симметричной кости, называются элементарными. Наряду с элементарными рассматриваются также события, состоящие из нескольких определенных элементарных событий. Таковым, например, является выпадение нечетного количества очков при подбрасывании симметричной кости.

Пусть событие А – некоторый исход испытания и

E1, E2,…, En

– конечная система всех равновозможных, единственно возможных и попарно несовместимых элементарных исходов этого испытания (полная система элементарных событий).

Тогда в соответствии с классическим определением вероятностью случайного события А называется отношение числа несовместимых и равновозможных элементарных событий, составляющих систему А, к числу всех возможных элементарных событий: $P(A) = {m \over n}$, где P(A) – вероятность случайного события; m – число элементарных событий, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных событий.

Отсюда вероятность выпадения нечетного количества очков при подбрасывании симметричной кости кубической формы равна $P(A) = {3 \over 6} = {1 \over 2}$.

Общее число возможных случайных событий, которые можно образовать из n элементарных, равно 2n-1, а с учетом возможности непоявления ни одного из них – 2n.
Рассмотрим систему S событий A,B,C,…, каждое из которых при каждом осуществлении комплекс условий Ψ должно произойти или не произойти. Между событиями системы S известны следующие соотношения1 [23,27].

  1. Если при каждом осуществлении комплекса условий Ψ, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой В и обозначают это обстоятельство символом ⊂:

    A ⊂ B

    или символом ⊃:

    B ⊃ A.

  2. Если при каждой реализации комплекса условий Ψ события А и В оба наступают или оба не наступают, то говорят, что события А и В равносильны и обозначают это обстоятельство символом =:

    A = B.

  3. Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением событий и обозначается АВ.
  4. Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обознается

    A + B.

  5. Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается

    A – B.

  6. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным для А и обозначается символом $\bar A$.
  7. Событие называется достоверным, если оно с необходимостью должно произойти при каждой реализации комплекса условий Ψ.
  8. Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти (ни при одной реализации комплекса условий Ψ).
  9. Два события А и $\bar A$ называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения: A + $\bar A$ = Ω, A$\bar A$ = ∅, где Ω – достоверное событие.
  10. Два события А и В являются несовместимыми, если их совместное появление невозможно

    AB = ∅.

  11. Считается, что событие А подразделяется на частные случаи B1,B2,…,Bn, если

    A = B1 + B2 +…+ Bn,

    причем события Bi попарно несовместимы, т.е.

    BiBj = ∅ при i ≠ j.

  12. События B1,B2,…,Bn образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти при каждом осуществлении комплекса Ψ, т.е. если

    B1 + B2 +…+ Bn = Ω.

  13. Система событий называется полем событий, если она удовлетворяет следующим допущениям:

    а) если системе S принадлежат события А и В, то ей принадлежат также события AB, A + B, A – B;

    б) система S содержит достоверное и невозможное события.

Требование конечности группы равновероятных событий, поскольку оно редко выполнялось на практике, явилось серьезным препятствием для широкого применения классического метода вычисления вероятностей.

Именно по этой причине азартные игры, для которых указанное требование выполнимо, долгое время служили почти единственной моделью изучения классической вероятности.

В этой связи закономерными явились попытки обобщения понятия вероятности для случаев бесконечного множества исходов. При этом по-прежнему сохранялось требование равновероятности событий.

Общая задача указанного типа может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что случайные точки равномерно распределены в некоторой области.

Тогда вероятность попадания в произвольную часть данной области пропорциональна ее площади (длине или объему) и не зависит от расположения и формы последней.

Отсюда искомая вероятность равна отношению «благоприятной» площади к площади всей области. Указанный метод вычисления вероятности получил название геометрического.

Принято считать, что начало изучению геометрических вероятностей положил французский ученый Жорж Бюффон (1707-1788 гг.) в своей знаменитой «задаче об игле» [7,152]. Однако по данным Б.В. Гнеденко, впервые задача вычисления геометрических вероятностей была поставлена Д.

Арбутнотом (1667-1735) в выполненном им в 1692 г. английском переводе книги Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» и опубликованным на 41 год ранее первой публикации Ж. Бюффона [23].

Дальнейшие исследования теории геометрических вероятностей сопровождались формулированием широкого ряда новых задач и нахождением их интересных решений.

Серьезное влияние на совершенствование понятия геометрической вероятности оказал французский математик Жозеф Луи Бертран (1822-1900), который в своей книге «Исчисление вероятностей» («Calcul des probabilities»), изданной в 1889 г.

, на удачно подобранных примерах показал, что логически понятие геометрической вероятности не выдерживает критики [93]. Играя на неопределенности терминологии, Ж. Бертрану для одной и той же задачи удалось получить несколько различных ответов.

В качестве основной мишени им была избрана широко известная в настоящее время задача о проведении наудачу хорды внутри круга [23].

Покажем парадоксальность определения геометрической вероятности на более простом примере. При выборе случайной точки на интервале (0,1) вероятность выбрать число, меньшее ½, равна 50%.

Однако, если все числа данного интервала возвести в квадрат и равномерно выбирать из этих квадратов, то указанная вероятность увеличится до 65,6% [93]. Конечно, первый ответ, т.е. 50%, более естественный.

Но в других задачах выбор между естественными и неестественными решениями может оказаться гораздо сложнее.

Критика Бертрана привлекла пристальное внимание математиков к общим вопросам логического обоснования теории вероятностей, были выявлены многие другие парадоксы, связанные с вычислением геометрических вероятностей, в т.ч. и иные решения задачи Бертрана [93,112].

Важнейшим следствием приложенных усилий явилось осознание того, что выбор между естественными и неестественными методами вычисления геометрических вероятностей не всегда возможен на основе лишь логических рассуждений без учета практики.

Кроме того, изучение задач подобного типа привело к возникновению очень интересного раздела математики, получившего название интегральной геометрии [163]. Именно на базе аналитического аппарата интегральной геометрии был разрешен парадокс Бертрана и другие, более сложные теоретические задачи.

Сейчас интегральная геометрия приобретает все возрастающее значение во многих областях науки, в том числе и в медицине, в частности, для восстановления трехмерных фигур по их двумерным сечениям.

В патоморфологии и судебной медицине геометрическое определение вероятности нашло самое широкое применение при обосновании ответа на вопрос, каким образом и в какой степени трехмерная структура определенного объема ткани может отражаться в ее плоских сечениях (гистологических срезах).

В настоящее время все судебно-медицинские приложения системной гистостереометрии базируются на важнейшем принципе геометрической вероятности: доля общего объема, которую занимают изучаемые структуры, равна части площади, занимаемой этими структурами на представительных срезах [7,107].

Другим перспективным приложением геометрического определения вероятности являются медико-криминалистические трасологические и антропологические исследования, основанные на сопоставлении, совмещении, наложении и репераже признаков на изображениях объектов.

Именно геометрическое определение может составить базу для теоретического обоснования вероятности положительной идентификации исследуемого объекта в зависимости от конкретного количества совпадений существенных особенностей последнего с таковыми сравниваемого аналога.

Как уже упоминалось, классическое определение вероятности события предполагает конечность и равновозможность числа элементарных исходов. Наложение указанных ограничений приводит к тому, что при переходе от простейших примеров к рассмотрению более сложных задач классическое определение вероятности наталкивается на принципиально непреодолимые трудности.

В частности, на практике приходится иметь дело с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, даже при ограниченном количестве исходов вероятности последних, как правило, не равновероятны, что делает невозможным использование геометрического метода определения вероятности.

В этой связи был замечен и теоретически обоснован другой способ оценки неизвестной вероятности случайного события, получивший название статистического.

Пусть производится n однотипных испытаний, одним из исходов которых является данное событие А. Отношение числа появлений m события А к общему числу испытаний n называется относительной частотой события А. При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т.е.

при числе испытаний n → ∞ относительная частота m/ n колеблется около некоторого постоянного числа р. При этом большие отклонения m/ n от р наблюдаются тем реже, чем многочисленнее испытания. Для случаев с конечными и равновозможными исходами испытаний оказалось, что р соответствует классическому определению вероятности.

Данный эмпирический факт впоследствии нашел глубокие основания в теореме Бернулли [23].

Теорема Бернулли. Пусть m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было ε > 0, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } P\left\{ {\left| {{m \over n} – p} \right| < \varepsilon } \right\} = 1$.

Таким образом, под статистическим определением вероятности понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний.

Отсюда при большом числе n независимых испытаний, производящихся в неизменных условиях Ψ, относительная частота события А приближенно равна его статистической вероятности.

Указанный факт значительно расширяет круг явлений, для которых возможна объективная оценка вероятностей событий.

Нередко из теоремы Бернулли делают совершенно необоснованный вывод, что частота события А при безграничном увеличении числа испытаний стремится к вероятности события А. Указанный факт в свое время послужил причиной распространения концепции вероятности, данной Р. Мизесом [цит. по 23].

Согласно Мизесу, если относительная частота по мере увеличения числа испытаний все меньше смещается от вероятности р, то в пределе должно быть $p = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m}{n}$.

Это равенство Мизес предложил считать определением понятия вероятности. Учитывая ограниченность классической вероятности и принципиальную применимость статистической вероятности ко всем имеющим научный интерес случаям, то классическое определение через равновозможность, основанную на симметрии, по мнению Мизеса, следует вовсе отбросить.

Однако на самом деле теорема Бернулли устанавливает только тот факт, что разность $m – \bar m$ становится пренебрежимо малой по сравнению с n.

Например, согласно закону больших чисел Бернулли вероятность того, что при бросании монеты число выпадений герба приблизительно равно числу появившихся решек, стремится к 1 при увеличении числа бросаний. С другой стороны, вероятность того, что число гербов будет в точности равно числу решек, стремится к нулю [93].

Тем не менее, концепция Мизеса до сих пор имеет как восторженных сторонников и последователей (в основном в среде естествоиспытателей), так и серьезных критиков (среди математиков-специалистов в области теории вероятностей).

Для судебной медицины статистическое определение вероятности означает, что при достаточно большом количестве схожих эмпирических наблюдений абсолютное отклонение относительной частоты изучаемого события при данной совокупности условий его реализации от его вероятности будет меньше любой произвольной величины ε. Данное обстоятельство позволяет в качестве приближенного значения априорной вероятности р данного события в заданных условиях его реализации принять его относительную частоту m/ n.

1Изложенные соотношения относятся не только к классическому определению вероятности, но и ко всем дальнейшим обобщениям.

Читать далее раздел “1.4. Аксиоматическая теория вероятностей”⇒

Источник: http://journal.forens-lit.ru/node/182

Учебник по теории вероятностей

Какой возможен исход событий?
Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

  • бросание монеты или игрального кубика (вероятности выпадения герба/решки или определенной цифры одинаковы в каждом броске);
  • извлечение из урны шара при условии, что вынутый шар после записи его цвета кладется обратно в урну (то есть состав шаров в урне не меняется и не меняется вероятность вынуть шар нужного цвета);
  • включение приборов (ламп, станков и т.п.) с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждого;
  • повторение стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой и т.д.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем $n$ испытаний Бернулли.

Это означает, что все $n$ испытаний независимы; вероятность появления события $А$ в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях).

Обозначим вероятность появления события $А$ в единичном испытании буквой $р$, т.е. $p=P(A)$, а вероятность противоположного события (событие $А$ не наступило) – буквой $q=P(\overline{A})=1-p$.

Тогда вероятность того, что событие $А$ появится в этих $n$ испытаниях ровно $k$ раз, выражается формулой Бернулли

$$P_n(k)=C_nk \cdot pk \cdot q{n-k}, \quad q=1-p.$$

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Онлайн-калькуляторы для формулы Бернулли

Некоторые наиболее популярные типы задач, в которых используется формула Бернулли, разобраны в статьях и снабжены онлайн-калькулятором, вы можете перейти к ним по ссылкам:

Примеры задач с решениями

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, . По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

.

Пример. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки
, тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность

.

Пример. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А – «появление нестандартной детали», его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
.

Пример. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Пример. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n ³ k), если в каждом из них .

Решение. Событие В – ровно n испытаний до k-го появления события А – есть произведение двух следующий событий:

D – в n-ом испытании А произошло;

С – в первых (n–1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз.

Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:

Еще больше примеров решений

Надо заметить, что использование биномиального закона при большом числе испытаний вычислительно трудно. Поэтому с возрастанием значений $n$ становится целесообразным применение приближенных формул (Пуассона, Муавра-Лапласа), которые будут рассмотрены в следующих разделах.

урок про формулу Бернулли

Для тех, кому нагляднее последовательное видеообъяснение, 15-минутный ролик:

Источник: https://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par17

�5. ������������ �����������

Какой возможен исход событий?
�����: �6. �������� ����������� �����: ����� II. ��������� ������� �����: ����� II. ��������� �������

������ ������������ – �������������� �����, ��������� �������������� � ��������� ��������. ������������� ������ ��������� � �������� XVII ���� � ������� � ������ ��������, �������, �����, �. ��������.

������������ ������ ,,…, ���������� ������������ ����� �������� ������������� ���������, � �� ������������

(��������) ������������� ������������ �������, ��� ������������� �������.

������ 21. �) ��� ������������� ��������� ����� ������������ ������������ ������� ������� �� ����� �����:

�) ������������ ������ ��� ���� ������, �����

��� � – “����”, � – “�������” � ����� ����� �������

�) ������������ ������ �� ������� ��������� “�����”, �����

� ���� ������ ���������� ���������� ������������� ������������ �������.

������ ������������ �� ���, ����� ��������� ����� ����� ����� � ���������� ���������, � ���, ����������� �� ����� ���� ��� ����� ������������ ���� �������. ��� �� ������������ , ��� ������� �� �������� ������������ �������� ����� ������ �� ���� �����: “����� ” ��� “����� “, ����� �������� ���������.

� ������� 21 �) ��������� = {��, ��, ��} �������� ��������, ��������� � ���, ��� �������� �� ������� ���� ���� “����”. ������� ������� �� ���� ������������ ������� ������������ , �������

������ ���� ������� � ���������� ������� , ��������� � ���������� ������� ��� ������� .

������������� ������� � ���������� ������� , ��������� � ���������� ���������� ������� � ������� .

��������������� �� ��������� � ������� ���������� ������� , ��������� � ����������� �, ������, ����������� ��� �� .

��������� ���������� ����������� ��������, ������ ��������� – �����������.

���� ������ ��������� ������� �������������� ���������� , �� ����� � �������, ��� ������������ ��� ������ �� ����� .

������� � ���������� �������������, ���� � .

�����������. ������������ ������� ���������� �����, ������ ��������� ����� ������������ �������, ������������ ������� , � ����� ���� ������������ �������

������ �������������� ������� , ( ���������� “������������”, ������� � �����������

���������� “������������”.

������������ ������� (������ �����), �������� � ������� , ���������� “��������������”.

�������� ������������ �����������:

0 1.

.

, ���� ( � – ������������ �������).

.

������ 22 (������ ��������). � ���� 2 ����� � 4 ������ ����. ���� �������� ������� ������ ���� � ������, ��� ����� ������� 3 ����� ����� ����� ���� �����. � ����� ��������� ��������� ����� ��������?

������� 1 (������������). � ������ ������ ��������� = {��������� 3 �����}, � ������� – ������������������ ������ �� ��������:

= {������� ����� ���� ����� ���}.

��������� ������� ��������� ���� ����� �� �����, ��

���� ����� ��� ����� ������� � �������, � ��� ������ – , � ����� �� ��������� ������� ������������� . ������ � �� ������ �������� ����������� �������������,

������� 2. �������� ������������� ������ �������:

���. 7

������ 23. ���������� �������, � ������� �������� ������ ������ – ��� �� 2 ���. � ���� � 5 ���. ��������� ��� ������.

�������. �) ��� ���������������� ���������� (� ������������) ����� �������� � ��������� �������:

������ ����������� ������� �� ���� �������?

� ������� �������� ��� ����������� ��������� �������.

�������������,

� ��� �� ����������� ����� � ��������� ������:

���. 8

�) ��� ���������������� ���������� (��� ����������) ����� �������� � ��������� ���� �������:

� ������� ������� ��� ��������� ������:

�������������,

� ��� �� ����������� ����� � ��������������� ������:

���. 9

������ 24 (������ �� ����). ���� ������ � “�������” �� ���� �����. ���� ����������, ����� ������ ������� ������ ������, � ������ – ���. ��� � ���� ������ ������� �������� �������������� ������?

�������. ����� ������� = {�������� ���� ������ �������}. ����� ������������� ������ �������� ��� ������� ������ ���������:

���. 10

������ , � ��� ����� ������ ������� ������ ������� ������, � ������� – ���� �����.

������� ������������� ������� ������������� ����� � ������� ������ � �� ��������� �������, ������� �� ������������� � �1 (������ 2).

������ 25. �������� �� ����� � ������� “��������” ������������?

�������. �������� ������������� ������ �������:

���. 11

�, �������������, ��� ���� � “��������” �������� ������ ������.

� ��������� ������� ������������ ������������� �� ������ ������ �������� � ��������� ������������:

� � ���������

, ���� � – ������������ �������

� , ���� � – ����������� �������.

������� ��� ������������

  1. ����� ������� ���������� ������������?
  2. �������� �������� ��� ���������. �������.
  3. ��������������� �������, ������� ��.
  4. ������������� ������������ ����������� �����������.
  5. ��������� ������� ������������ � ������������ �������.
  6. ����� �������� ������������ �� ������?
  7. ����� ��, ��� ?
  8. ��� ����� ������� � ������������ ������� � ���������������� ��� �������?
  9. � ��� �������� ����� ��������� �������� ��� ����������� � ������������ �������?

������

I 41. ��������� ��������� ������������ ������� � ������������:

        �) ������������ ��� ������ ������������ 1,5,10 ���.;
        �) ������������ ��������� ����� � ������ ������������ 1 �����.

������� ����������� ���� ������������ �������.

  42. ������������ ��� ������ (1, 5, 10 ���.). ������� ����������� �������, ���������������� �������:

      �) ���� ����� �� ������� ���� �� ����� ������;
      �) ����� �������� ������ ������ 10.

  43. ���������   44. ������� , , �������� ���������� ��������� ������� ����� �� ���� ���������. �������� �������, ��������� � ���, ���

        �) ��� ��� ��������� �������;         �) ���� �� ���� �� ��� �������� �������;         �) �� ��� ��������� �������;

        �) ������� ��������� ������ ����� �� ���������.

  45. ������� ��� ��������� �����. ������� ����������� ��������� �������:

       �) ����� �������� ����� ����� 5;        �) ����� �������� ����� ����� 8, � ���������� �������� �������� – 4;

       �) ����� �� ��������� ���� ����� ���������� ����������� ���������?

  46. ������ ����������� ������� ���� ��� �������� ����� �� ������ � 36 ����? II 47. ������� ���� �������� ������ 1, 2, 3, 5 � 7 ��. ������� ����������� ����, ��� �� ���� ������ ������ �������� ����� ��������� �����������.   48. � ���������� ��������� 16 ������, ����� ������� ��� ����������. ������ ����������� ����, ��� ��� ��������� ������ �� ��� ������ ��������� ���������� ������� ��������:

       �) � ������ ����������;
       �) � ����� ���������.

III 49. � �������, ��� ������������� ���� �� ����������� �������, ��������� 2 ������. ������ ����������� ����, ��� ��� ���������� ������� ���������� � ������?   50. ��� ����� ��������: �������� ���� �� ���� ������� ��� �������� ������� ��������� ������ ��� ���� �� ���� ���� ������ ��� 24 ��������� ���� ������? �����: �6. �������� ����������� �����: ����� II. ��������� ������� �����: ����� II. ��������� �������
����, ����� �������������� ���������� ��������
2006-03-04

Источник: http://cito-web.yspu.org/link1/metod/theory/node8.html

Орлов А.И. Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты: События и множества

Какой возможен исход событий?

Учебное пособие. М.: МЗ-Пресс, 2004.

2. Основы теории вероятностей

События и множества

Исходное понятие при построении вероятностных моделей в задачах принятия решений – опыт (испытание). Примерами опытов являются проверка качества единицы продукции, бросание трех монет независимо друг от друга и т.д.

Первый шаг при построении вероятностной модели реального явления или процесса – выделение возможных исходов опыта. Их называют элементарными событиями.

Обычно считают, что в первом опыте возможны два исхода – «единица продукции годная» и «единица продукции дефектная». Естественно принять, что при бросании монеты осуществляется одно из двух элементарных событий – «выпала решетка (цифра)» и «выпал герб».

Таким образом, случаи «монета встала на ребро» или «монету не удалось найти» считаем невозможными.

При бросании трех монет элементарных событий значительно больше. Вот одно из них – «первая монета выпала гербом, вторая – решеткой, третья – снова гербом». Перечислим все элементарные события в этом опыте.

Для этого обозначим выпадение герба буквой Г, а решетки – буквой Р.

Имеется 23=8 элементарных событий: ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР, РГГ, РГР, РРГ, РРР – в каждой тройке символов первый показывает результат бросания первой модели, второй – второй монеты, третий – третьей монеты.

Совокупность всех возможных исходов опыта, т.е. всех элементарных событий, называется пространством элементарных событий. Вначале мы ограничимся пространством элементарных событий, состоящим из конечного числа элементов.

С математической точки зрения пространство (совокупность) всех элементарных событий, возможных в опыте – это некоторое множество, а элементарные события – его элементы.

Однако в теории вероятностей для обозначения используемых понятий по традиции используются свои термины, отличающиеся от терминов теории множеств. В табл.

1 установлено соответствие между терминологическими рядами этих двух математических дисциплин.

Таблица 1.

Соответствие терминов теории вероятностей и теории множеств

Теория вероятностейТеория множеств
Пространство элементарных событийМножество
Элементарное событиеЭлемент этого множества
СобытиеПодмножество
Достоверное событиеПодмножество, совпадающее с множеством
Невозможное событиеПустое подмножество
Сумма А+В событий А и ВОбъединение
Произведение АВ событий А и ВПересечение
Событие, противоположное АДополнение А
События А и В несовместны пусто
События А и В совместны не  пусто

Как сложились два параллельных терминологических ряда? Основные понятия теории вероятностей и ее терминология сформировались в XVII-XVIII вв. Теория множеств возникла в конце XIX в. независимо от теории вероятностей и получила распространение в ХХ в.

Принятый в настоящее время аксиоматический подход к теории вероятностей, разработанный академиком АН СССР А.Н. Колмогоровым (1903-1987), дал возможность развивать эту дисциплину на базе теории множеств и теории меры.

Этот подход позволил рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику как часть математики, проводить рассуждения на математическом уровне строгости. В частности, было введено четкое различие между частотой и вероятностью, случайная величина стала рассматриваться как функция от элементарного исхода, и т.д.

За основу методов статистического анализа данных стало возможным брать вероятностно-статистические модели, сформулированные в математических терминах. В результате удалось четко отделить строгие утверждения от обсуждения философских вопросов случайности, преодолеть подход на основе понятия равновозможности, имеющий ограниченное практическое значение.

Наиболее существенно, что после работ А.Н.Колмогорова нет необходимости связывать вероятности тех или иных событий с пределами частот. Так называемые «субъективные вероятности» получили смысл экспертных оценок вероятностей.

После выхода (в 1933 г. на немецком языке и в 1936 г. – на русском) основополагающей монографии [4] аксиоматический подход к теории вероятностей стал общепринятым в научных исследованиях в этой области. Во многом перестроилось преподавание. Повысился научный уровень многих прикладных работ. Однако традиционный подход оказался живучим.

Распространены устаревшие и во многом неверные представления о теории вероятностей и математической статистике. Поэтому в настоящей главе рассматриваем основные понятия, подходы, идеи, методы и результаты в этих областях, необходимые для их квалифицированного применения в задачах различных областей знаний и практической деятельности.

В послевоенные годы А.Н.Колмогоров формализовал понятие случайности на основе теории информации [5]. Грубо говоря, числовая последовательность является случайной, если ее нельзя заметно сжать без потери информации. Однако этот подход не был предназначен для использования в прикладных работах и преподавании. Он представляет собой важное методологическое и теоретическое продвижение.

Источник: http://www.aup.ru/books/m155/2_1.htm

Информатика

Какой возможен исход событий?

Совокупность образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них. Например, при сдаче зачета возможны следующие исходы: “зачтено”, “не зачтено”, “не явился”; при подбрасывании монеты – “орел”, “решка”; при подбрасывании игральной кости – 1, 2, 3, 4, 5, 6.

События, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Классическое определение вероятности

Вероятностью P(A) события A называется отношение числа элементарных событий m, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий n:

Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность случайного события больше 0 и меньше 1.

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Например, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. В таких случаях используется статистическое определение вероятности. Пусть проводится n опытов, событие A наступило m раз, тогда

,

где m – абсолютная частота события A; P(A) – относительная частота события A.
Вероятностью события А для испытания в данном опыте называется число P(A), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

Геометрическое определение вероятности

Если в результате проведения испытаний наблюдается произвольный исход из некоторого бесконечного множества, то можно сказать, что пространство элементарных исходов может быть некоторой областью G, а под событием А можно понимать исходы, входящие в область g. Пусть на область G наугад брошена “точка”; приняв равновозможность вариантов, естественно считать, что вероятность попадания в область g можно найти по формуле, называемой геометрической вероятностью:

Области могут быть различной размерности (одно-, двух- или трехмерного измерения) и, в зависимости от выбора размерности меры, могут принимать значения либо длины, либо площади, либо объема. Для конкретного испытания размерность мер g и G должна быть одна.

8.3. Свойства вероятности

Суммой событий A и B называется событие C = A + B, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий – A или B.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P(A) + P(B).

Примеры: пусть А – идет дождь, а В – идет снег, то (А + В) – либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; А – пошли на дискотеку; В – пошли в библиотеку, то А + В – пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

P(A) + P = 1.

Вероятность суммы полной группы событий равна 1.

Примеры: если А – число четное, то – число нечетное; если А – зима, то – не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А – сдал экзамен, то – не сдал экзамен.

Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.

Примеры: пусть А – из урны вытянули белый шар, В – из урны вытянули белый шар, то АВ – из урны вытянули два белых шара; А – идет дождь, В – идет снег, то АВ – дождь со снегом; А – число четное, В – число кратное 3, то АВ – число кратное 6.

Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.

Чаще всего зависимые испытания происходят тогда, когда тянут из одной колоды, не возвращая карты в колоду, вытаскивают из одной урны и т. д.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) P(B).

Пусть А и В – зависимые. Условной вероятностью PA (B) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:

P (AB) = P (A) PА (B).

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB).

Теорема (формула полной вероятности). Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий B1, B2,…, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

Теорема (формула Байеса). Если существуют n попарно несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, и известны условные вероятности события А, то можно найти вероятности того, что событие А произошло при условии появления некоторого события Bk по формуле:

Вопросы

1. Может ли событие быть одновременно и невозможным и достоверным? 2. Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В? 3. Приведите пример полной группы событий для выбранного Вами испытания. 4.

Исходя из формулы определения вероятности, объясните, почему значение вероятности находится в пределах от 0 до 1. 5. Часто ли случается, что наступление какого-либо события зависит от ряда причин? Приведите пример.

6.

С помощью какой формулы можно выяснить наиболее вероятную причину уже наступившего события?

Ключевые слова

случайные события, вероятность, сумма событий, произведение событий, полная вероятность, условная вероятность.

Источник: https://tsput.ru/res/fizika/1/Infomat/g8.htm

Элементарная теория вероятностей

Какой возможен исход событий?
Next:  Геометрическая вероятность   Up:  Классическая вероятностная схема   Previous:  Основные формулы комбинаторики Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее.

Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного.

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же.

Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов , приближаясь к некоторому числу . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию произойти.

Следует помнить, что мы занимаемся математикой и имеем дело не с реальностью, а лишь с её математической моделью. Мы и будем изучать только математические модели, а приложение их к реальности оставим на долю математической и практической статистики.

Определение 1. Пространством элементарных исходов («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой («омега»). Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества . Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество . Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов , элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий: — выпало одно или два очка; — выпало нечётное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел , где (сответственно, ) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: .

Примеры событий:
— при первом подбрасывании выпало одно очко;
— при втором подбрасывании выпало одно очко;
— на костях выпало одинаковое число очков;
— на обеих костях выпало нечётное число очков.

Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты. Пространство элементарных исходов — множество точек стола. Если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить к множеству положений центра величину этого угла. В этом случае есть множество пар , где — точка стола и — угол поворота. Число элементарных исходов такого эксперимента несчётно. Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счётного числа исходов: , где  р  означает выпадение решки, а  г  — герба при одном подбрасывании. Определение 3.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие .

2. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда .

В теории вероятностей существуют ровно те же операции над множествами, что и в теории множеств.

Определение 4.

1. Объединением событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества .

2. Пересечением событий и называется событие, состоящее в том, что произошли оба события и одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств и .

3. Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие , состоящее в том, что событие в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество состоит из элементарных исходов, не входящих в .

4. Дополнением события до называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло . Т.е. множество содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .

Определение 5.

1. События и называют несовместными, если .

2. События называют попарно несовместными, если для любых , где , события и несовместны.

3. Говорят, что событие влечёт событие , и пишут , если всегда, как только происходит событие , происходит и событие . На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество , одновременно входит и в множество , т.е. содержится в .

Пространство элементарных исходов назовём дискретным, если оно конечно или счётно:

Так, эксперименты из примеров 1, 2 и 4 (но не 3) приводят к дискретным пространствам элементарных исходов.

Чтобы определить вероятность любого события на дискретном пространстве элементарных исходов, достаточно присвоить вероятность каждому элементарному исходу. Тогда вероятность любого события определяется как сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Определение 6. Поставим каждому элементарному исходу в соответствие число так, что

Назовём число вероятностью элементарного исхода . Вероятностью события назовём число

 ,

равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество . В случае положим .

Перечислим очевидные в случае дискретного пространства свойства вероятности, которые мы скоро докажем сразу в общем случае.

1.   ;  ;  ;

2.   Если и несовместны, то ;

3.   В общем случае ;

4.   Если , то .

Упражнение 8. Доказать свойства 1 — 4, пользуясь определением 6.

Рассмотрим частный случай такой вероятности — так называемую «классическую вероятность».

Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов: . Предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной . Эти соображения не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость).

Если событие состоит из элементарных исходов, то вероятность этого события равняется отношению :

где символом обозначено число элементов конечного множества .

Определение 7. Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности, если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа равновозможных исходов. В этом случае вероятность любого события вычисляется по формуле

называемой классическим определением вероятности.

Формулу читают так: «вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к общему числу исходов». Полезно сравнить это определение с классической формулировкой Якоба Бернулли(1): «Вероятность есть степень достоверности и отличается от неё как часть от целого» (Ars Conjectandi, 1713 г.)

Мы видим теперь, что подсчёт вероятности в классической схеме сводится к подсчёту общего числа «шансов» и числа шансов, благоприятствующих какому-либо событию. Число шансов считают с помощью формул комбинаторики.

Рассмотрим описанные в параграфе 1 урновые схемы.

Три схемы: с возвращением и с учётом порядка, без возвращения и с учётом порядка, а также без возвращения и без учёта порядка, удовлетворяют классическому определению вероятности.

Общее число элементарных исходов в этих схемах подсчитано в теоремах 4, 2, 3 и равно соответственно , , . Четвёртая же схема — схема выбора с возвращением и без учёта порядка — имеет заведомо неравновозможные исходы.

Пример 5. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится четыре, и все они равновозможны, т.е. имеют вероятность по 1/4:

Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить не четыре, а три исхода:

Первые два исхода имеют вероятности по 1/4, а последний — вероятность 1/4+1/4=1/2.

Упражнение 9. Посчитать число элементарных исходов в примере 2 (при подбрасывании двух игральных костей). Каким станет пространство элементарных исходов, если порядок костей не учитывать? Посчитать число элементарных исходов в таком пространстве (пользуясь теоремой 5 или прямым подсчётом). Убедиться, что их ровно . Равновозможны ли эти исходы? Посчитать вероятность каждого. Пример 6. Из урны, в которой белых и чёрных шаров, наудачу и без возвращения вынимают шаров, . Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано белых и чёрных шаров.

Решение. При или искомая вероятность равна нулю, так как соответствующее событие невозможно. Пусть и .

Результатом эксперимента является набор из шаров. Можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров, вероятность не должна зависеть от способа подсчёта.

Выбор без учёта порядка. Общее число элементарных исходов есть число -элементных подмножеств множества, состоящего из элементов: (по теореме 3).

Обозначим через событие, вероятность которого требуется найти. Событию благоприятствует появление любого набора, содержащего белых шаров и чёрных. Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать белых шаров из и числа способов выбрать чёрных шаров из , т.е. . Вероятность события равна

(1)

Выбор с учётом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить элементов на местах: по теореме 2,

При подсчёте числа благоприятных исходов нужно учесть число способов выбрать белых и чёрных шаров и число способов расположить эти шары среди .

Можно, скажем, посчитать число способов выбрать мест среди (равное ), затем число способов разместить на этих местах белых шаров (равное ), и затем число способов разместить на оставшихся местах чёрных шаров (равное ). Перемножив (почему?) эти числа, получим

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из белых и чёрных шаров вероятность получить этот набор при выборе шаров из урны, содержащей белых и чёрных шаров. Определение 8. Соответствие между числом и вероятностью

(где таково, что , и ) называется гипергеометрическим распределением.

Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином «распределение» вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способ разделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-то точками или множествами на вещественной прямой.

В гипергеометрическом распределении единичная вероятность распределена между подходящими целыми числами неравномерно. Каждому целому числу сопоставлена своя вероятность .

На вещественной прямой можно единичную вероятность распределить по-разному.

Этим одно распределение отличается от другого: тем, на каком множестве чисел «распределена» общая единичная вероятность, и тем, какие веса, или вероятности, присвоены отдельным точкам или частям этого множества.

Упражнение 10. Понять последний абзац.

Next:  Геометрическая вероятность   Up:  Классическая вероятностная схема   Previous:  Основные формулы комбинаторики

1Jacob Bernoulli (27.12.1654 — 16.08.1705, Basel, Switzerland) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N.Ch.

Источник: https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node4.html

Юрист-Профи
Добавить комментарий